経済学メモ:NKモデル途中計算1

・本稿の内容

基本的なNKモデルの途中計算メモです。
家計の効用最大化問題を解き、各財の需要関数を導出する部分です。
具体的にはGali(2015)のP53の(1)式 $C_t(i)=\left(\dfrac{P_t(i)}{P_t}\right)^{-\epsilon}C_t$ の導出です。*1
導出過程の一部はP83のAPPENDIXにありますが、
省略されている部分が多いのでメモしておきます。
本稿の作成に当たってはDrago Bergholt氏のレクチャーノートを
大いに参考にさせていただきました<(_ _)>

・本文

家計の効用関数を

$C_t = \left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}　・・・①$

とする。

家計の効用最大化問題は

$\underset{C_t(i)}{max} \left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}\\ s.t. \displaystyle \int_0^{1}P_t(i)C_t(i)di\leq X_t$

と書ける。

ラグランジュ乗数を $\lambda_t$ として、ラグランジアンは以下のように書ける。

$L = \left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}-\lambda_t\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)C_t(i)di- X_t\right)$

効用最大化の一階条件は

$\dfrac{\partial L}{\partial C_t(i)} = \dfrac{\partial}{\partial C_t(i)} \left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}-\lambda_t\dfrac{\partial}{\partial C_t(i)}\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)C_t(i)di- X_t\right)=0\\ \dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}\left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{1}{\epsilon-1}}\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}C_t(i)^{-\dfrac{1}{\epsilon}}-\lambda_tP_t(i) = 0\\ \left[\left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}\right]^\dfrac{1}{\epsilon}C_t(i)^{-\dfrac{1}{\epsilon}}-\lambda_tP_t(i) = 0\\ C_t^\dfrac{1}{\epsilon}C_t(i)^{-\dfrac{1}{\epsilon}}=\lambda_tP_t(i)・・・②$

である。*2

②式はすべての財で成り立つから、財 $j(i\neq j)$ に関しても②式を適用できる。

$C_t^\dfrac{1}{\epsilon}C_t(j)^{-\dfrac{1}{\epsilon}}=\lambda_tP_t(j)・・・③$

②式と③式より、

$\left(\dfrac{C_t(i)}{C_t(j)}\right)^{-\dfrac{1}{\epsilon}}=\dfrac{P_t(i)}{P_t(j)}\\ \dfrac{C_t(i)}{C_t(j)}=\left(\dfrac{P_t(i)}{P_t(j)}\right)^{-\epsilon}\\ C_t(i) = C_t(j)\left(\dfrac{P_t(i)}{P_t(j)}\right)^{-\epsilon}・・・④$

と書ける。*3

④式を制約条件に代入し、 $C_t(j)$ に関して解くと

$X_t = \displaystyle \int_0^{1}P_t(i)C_t(i)di=\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)C_t(j)\left(\dfrac{P_t(i)}{P_t(j)}\right)^{-\epsilon}di=C_t(j)P_t(j)^{\epsilon}\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di\\ C_t(j) = \dfrac{X_t P_t(j)^{-\epsilon}}{\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di}・・・⑤$

である。

⑤式を①式に代入し、 $C_t=1$ で評価すると、

$C_t = \left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}=\left[\displaystyle \int_0^{1} \left(\dfrac{X_t P_t(j)^{-\epsilon}}{\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di}\right)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right]^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}\\ =X_t\left[\displaystyle \int_0^{1} \dfrac{P_t(j)^{1-\epsilon}}{\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di\right)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}}\right]^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}\\ =X_t\left[\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di\right)^{\dfrac{1}{\epsilon}}\right]^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}=X_t\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di\right)^{\dfrac{1}{\epsilon - 1}}=1・・・⑥$

である。

$C_t=1$ のときの $X_t$ を $P_t$ (つまり、 $P_t$ は一般物価)と書くことにすると
⑥式より、

$P_t\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di\right)^{\dfrac{1}{\epsilon - 1}}=1\\ P_t=\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di\right)^{\dfrac{1}{1-\epsilon}}・・・⑦$

である。

⑤式に⑦式を代入すると、

$C_t(i) = \dfrac{X_t P_t(j)^{-\epsilon}}{\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di} = \dfrac{X_t P_t(j)^{-\epsilon}}{P_t^{1-\epsilon}}=\left(\dfrac{P_t(i)}{P_t}\right)^{-\epsilon}\dfrac{X_t}{P_t}・・・⑧$

である。*4

⑧式を①式に代入すると、

$C_t = \left(\displaystyle \int_0^{1} C_t(i)^{\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}}di \right)^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}=\left[\displaystyle \int_0^{1} \left(\left(\dfrac{P_t(i)}{P_t}\right)^{-\epsilon}\dfrac{X_t}{P_t}\right)^\dfrac{\epsilon-1}{\epsilon}di \right]^{\dfrac{\epsilon}{\epsilon-1}}\\ =X_tP_t^{\epsilon-1}\left[\left(\displaystyle \int_0^{1}P_t(i)^{1-\epsilon}di\right)^{\dfrac{1}{1-\epsilon}}\right]^{-\epsilon}=\dfrac{X_t}{P_t}\\ X_t=P_tC_t・・・⑨$

である。

⑨式を⑧式に代入すると、