・本稿の内容
線形トレンドモデルを用いたGDPギャップの簡単な求め方をメモします。*1
・本文
Ⅰ.線形トレンドモデル、成長率の公式
線形の確定トレンドを持つ以下の回帰モデルを線形トレンドモデルと呼ぶ。
ここでは毎期1ずつ増加していく整数、
は平均が
の定常な確率変数である。
①式の期待値を取ると
と書ける。
①式のの部分を
のトレンド成分、
の部分を循環成分と解釈する。
①式をOLS推定して得られた残差を
の推定値として用いる。
次に、上記の線形トレンドモデルでを実質GDP(対数値)とすれば、
残差をGDPギャップとして解釈できることを確認する。
以下ではから
への成長率に関するよく知られた次の関係を用いる。
つまり、成長率は対数の差で近似できる。
Ⅱ.GDPギャップの導出
原系列の実質GDPのトレンド成分がであるとする。
自然対数で変換すると、
である。
この自然対数で変換したトレンド成分の差分(つまり、成長率)は
であるから、トレンド成分(潜在GDP)成長率は一定となる。
1994年から2019年までの実質GDP(平成27年基準、暦年)を用いて、線形トレンドモデルを推定する。
データはここから取得した。
推定にはExcelのデータ分析ツールを用いる。
まず以下の画像のようにデータを整理する。
画像1
次にデータ分析ツールで回帰分析を選択し、
入力Y範囲に実質GDP(自然対数変換)、入力X範囲にタイムトレンドを指定する。
残差も使用するため、残差にチェックを入れる。
以下のように推定結果が出力される。
画像2
この推定結果より、線形トレンドモデルの推定式は
である。※()内は標準誤差。係数は適当な位置で四捨五入している。
タイムトレンドの係数は
であるから、トレンド成分(つまり、潜在GDP)の成長率は
%である。
実質GDP(自然対数変換)と分析結果として得られたトレンド成分(画像2のL列の予測値:Y)、残差(画像2のM列の残差)をグラフにしてみる。
画像3
※残差(GDPギャップ)は100倍している。
