お勉強メモ

経済学・計量経済学・統計学などのお勉強メモです。

経済学メモ:経済学でよく使う数式②

経済学経済学でよく使う数式

・本稿の内容
ある変数 $X$ (例えば消費者物価指数などを想定してください)の $t$ 期における変化率 $g_{t}$ は

$g_{t}=\dfrac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}}$

と書くことができます。この $g_{t}$ は以下のように $X_{t}$ と $X_{t-1}$ の自然対数差分で近似することができます。

$g_{t}=\dfrac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}} \approx \log X_{t}-\log X_{t-1}$

上式のように書ける理由と、実際の時系列データを使用して $\dfrac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}}$ と $\log X_{t}-\log X_{t-1}$ がほぼ同じ値になることを確認します。

・本文

Ⅰ:近似式の導出
Ⅱ:実際のデータで確認

Ⅰ:近似式の導出

$f(x)=log (1+x)$ とする。
$f(x)$ を1回微分すると

$f^{'}(x)=\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{(-1)^{1-1}(1-1)!}{(1+x)^{1}}$

である。
$f(x)$ を2回微分すると

$f^{(2)}(x)=\dfrac{-1}{(1+x)^{2}}=\dfrac{(-1)^{2-1}(2-1)!}{(1+x)^{2}}$

である。

$f(x)$ を3回微分すると

$f^{(3)}(x)=\dfrac{2}{(1+x)^{3}}=\dfrac{(-1)^{3-1}(3-1)!}{(1+x)^{3}}$

である。

$f(x)$ を4回微分すると

$f^{(4)}(x)=\dfrac{-6}{(1+x)^{4}}=\dfrac{(-1)^{4-1}(4-1)!}{(1+x)^{4}}$

である。

$f(x)$ をn回微分すると

$f^{(n)}(x)=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^{n}}・・・①$

である。

$log (1+x)$ を $x=0$ でテイラー展開(マクローリン展開)する。①式より、 $n$ 次の係数は

$\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}=\dfrac{\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+0)^{n}}}{n!}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$

であるから、

$log (1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4}x^{4}+\cdots　・・・②$

となる。よって、②式より、 $log (1+x)$ の1次近似は

$log (1+x)\approx x$

となる。 $x$ に $g_{t}=\dfrac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}}$ を代入すると

$\begin{eqnarray} g_{t}\approx log (1+g_{t})&=&log (1+\dfrac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}})\\ &=&log (\dfrac{X_{t}}{X_{t-1}})\\ &=& \log X_{t}-\log X_{t-1} \end{eqnarray}$

となる。

Ⅱ:実際のデータで確認

消費者物価指数(総合)の年次データ(2000年～2021年)を用いて、 $\dfrac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}}$ と $\log X_{t}-\log X_{t-1}$ を比較していく。消費者物価指数のデータはここから取得した。

取得したデータをExcelを用いて以下の画像のように整理する。

$\dfrac{X_{t}-X_{t-1}}{X_{t-1}}$ で求めた値を「通常」列、 $\log X_{t}-\log X_{t-1}$ で求めた値を「対数差」列に記載している。(どちらも100をかけている。)計算された値を見ると、両者でほとんど差がないことが確認できる。

・参考文献
石井俊全(2014)『1冊でマスター大学の微分積分』技術評論社