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統計学メモ:ガンマ関数途中計算

統計学

・本稿の内容
ガンマ関数の途中計算でなんでここ0なの？という箇所があったのでメモします。

・本文
ガンマ関数は


\Gamma(x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty }u^{x-1}e^{-u}du　(x>0)\\
である。
部分積分を用いて、

=\left[ -u^{x-1}e^{-u} \right]_{0}^{\infty}+\displaystyle\int_{0}^{\infty }(x-1)u^{x-2}e^{-u}du\\ =(x-1)\displaystyle\int_{0}^{\infty }u^{x-2}e^{-u}du

と書ける。

上記の途中計算で\left[ -u^{x-1}e^{-u} \right]_{0}^{\infty}が0になる理由を以下で示す。

数学的帰納法とロピタルの定理を用いる。


{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^n}{e^x}=0(n=1,2,・・・)を示す。・・・★\\ }
n=1のとき、


{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x}\\ }
ここで、

{\displaystyle \lim_{x \to \infty} x=\infty }, {\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^x=\infty } \\(e^x)^{'}=e^x\neq0

であるから、ロピタルの定理が適用できて、


{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x}=\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x}=0 }

である。
n=kのとき、


{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^k}{e^k}=0 }

が成り立つと仮定する。
n=k+1のとき、ロピタルの定理より、


{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^{k+1}}{e^x}=\lim_{x \to \infty} \dfrac{(k+1)x^{k}}{e^x}=0 }

よって、n=k+1のときも成り立つから、すべてのnで★が成り立つ。


・参考文献
小林昭七(2000)『微分積分読本　1変数』裳華房

・参考サイト
受験辞典『ロピタルの定理とは？証明や問題での使い方をわかりやすく解説！』
univ-juken.com