経済学メモ:債務残高対GDP比、差分方程式(漸化式)

1.本稿の内容
政府の予算制約式から債務残高対GDP比の差分方程式を導出し、パラメータの値で場合分けをして安定性(本稿では債務残高対GDP比が収束する場合は「時間経路が安定的」、発散する場合は「時間経路が不安定的」とよぶことにします。)を確認します。Pythonを用いて簡単なシミュレーションも行います。

2.本文

Ⅰ.債務残高対GDP比の差分方程式の導出
Ⅱ.差分方程式の解法
Ⅲ.安定性の確認
Ⅳ.サンプルコード
Ⅴ:参考文献

Ⅰ.債務残高対GDP比の差分方程式の導出

政府の予算制約式は以下のように書ける。

$B_t=(1+r_t)B_{t-1}+PB_t$

$B_t$ は $t$ 期末の債務残高,
$r_t$ はt期の金利,
$PB_t$ はt期の基礎的財政収支赤字。

両辺を $t$ 期のGDP $Y_t$ で割る。

$\dfrac{B_t}{Y_t}=(1+r_t)\dfrac{B_{t-1}}{Y_t}+\dfrac{PB_t}{Y_t}$

$t-1$ 期から $t$ 期にかけての経済成長率 $g_t$ を

$g_t=\dfrac{Y_t-Y_{t-1}}{Y_{t-1}}=\dfrac{Y_t}{Y_{t-1}}-1$

と表し、式を整理すると、

$\dfrac{B_t}{Y_t}=(1+r_t)\dfrac{B_{t-1}}{Y_{t-1}}\dfrac{Y_{t-1}}{Y_t}+\dfrac{PB_t}{Y_t}\\ \dfrac{B_t}{Y_t}=\dfrac{(1+r_t)}{(1+g_t)}\dfrac{B_{t-1}}{Y_{t-1}}+\dfrac{PB_t}{Y_t}・・・①$

となる。①式は1次の差分方程式である。*1

Ⅱ.差分方程式の解法

$y_{t+1}=ay_t+b$ 型の差分方程式の解法は下記の通りである。*2

$y_{t+1}=ay_t+b (a,bは定数)　のとき\\ y_t=a^t(y_0-\dfrac{b}{1-a})+\dfrac{b}{1-a} 　(y_0は初項)\\ ※a=1　のとき　y_t=y_0+tb$

$\dfrac{B_t}{Y_t}$ を $y_t$ とおき, $r_t,g_t,\dfrac{PB_t}{Y_t}$ をそれぞれ、 $r,g,pb$ 　 $(r,g,pbは定数)$ とおいて、 $y_0$ を債務残高対GDP比の初期値として、①式に上記の解法を適用すると、

$y_t=\left(\dfrac{1+r}{1+g}\right)^t\left(y_0-\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}\right)+\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}・・・② 　\\ ※g=r　のとき　y_t=y_0+tpb$

となる。

Ⅲ.安定性の確認

成長率 $g$ と金利 $r$ に関して、
(1) $g>r$
(2) $g=r$
(3) $g＜r$

の3パターンに分類して、 $t→\infty$ のときの②式の $y_t$ を求めて安定性を確認する。

(1) $g>r$ のとき

$\left|\dfrac{1+r}{1+g}\right|<1$ であるから、 $t→\infty$ のとき、②式の $\left(\dfrac{1+r}{1+g}\right)^t$ は $0$ に収束する。よって、

$\lim_{t \to \infty}y_t=\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$

となり、 $y_{t}$ は $pb$ の値に関わらず収束し、時間経路は安定的である。*3

次に①式( $r_t,g_t,pb_t$ は定数とする)を用いて、位相図を描く方法で、 $y_t$ の安定性を確認する。 $pb>0$ の場合を考える。

図1 債務残高対GDP比の位相図

①式は $y^{*}=\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$ で45度線と交わる。ある $t$ 期において、 $y_t$ が $y_t^{'}(>y^{*})$ にあるとすると、次期は $y_{t+1}^{'}$ になり、さらにその次期は $y_{t+2}^{'}$ となり、 $y^{*}$ へ収束していく。ある $t$ 期において、 $y_t$ が $y_t^{''}(＜y^{*})$ にあるとすると、次期は $y_{t+1}^{''}$ になり、さらにその次期は $y_{t+2}^{''}$ となり、 $y^{*}$ へ収束していく。
他のパターンでも同様の方法で位相図を描くことができる。以下では位相図は省略する。

(2) $g=r$ のとき

$y_t=y_0+tpb$

である。

(2)-Ⅰ: $pb>0$ のとき

$\lim_{t \to \infty}y_t=\infty$

となるから、 $y_{t}$ は $\infty$ に発散し、時間経路は不安定的である。

(2)-Ⅱ: $pb=0$ のとき

$\lim_{t \to \infty}y_t=y_0$

となるから、 $y_{t}$ は $y_{0}$ に収束し、時間経路は安定的である。

(2)-Ⅲ: $pb<0$ のとき

$\lim_{t \to \infty}y_t=-\infty$

となるから、 $y_{t}$ は $-\infty$ に発散し、時間経路は不安定的である。

(3) $g＜r$ のとき

$\left|\dfrac{1+r}{1+g}\right|>1$ であるから、 $t→\infty$ のとき、②式の $\left(\dfrac{1+r}{1+g}\right)^t$ は $\infty$ に発散する。よって、 $y_{0}$ と $\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$ の大小関係で $t→\infty$ のときの $y_{t}$ の値が決まる。

(3)-Ⅰ: $y_0>\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$ のとき

$\lim_{t \to \infty}y_t=\infty$

となるから、 $y_{t}$ は $\infty$ に発散し、時間経路は不安定的である。

(3)-Ⅱ: $y_0=\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$ のとき

$\lim_{t \to \infty}y_t=\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$

となるから、 $y_{t}$ は $\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$ に収束し、時間経路は安定的である。

(3)-Ⅲ: $y_0＜\dfrac{pb}{1-\dfrac{1+r}{1+g}}$ のとき

$\lim_{t \to \infty}y_t=-\infty$

となるから、 $y_{t}$ は $-\infty$ に発散し、時間経路は不安定的である。

Ⅳ.サンプルコード

成長率>金利かつ基礎的財政収支赤字のパターンを例にシミュレーションをしてみる。*4Ⅲで確認したように、成長率>金利の場合は基礎的財政収支対GDP比の値に関わらず債務残高対GDP比は収束し、時間経路は安定的となる。サンプルコードでは一例として
債務残高対GDP比の初期値を200%,
金利を1%,
成長率を2%,
基礎的財政収支赤字対GDP比を3%
とおいた。

#Pythonサンプルコード
import matplotlib.pyplot as plt

#パラメータ
y_0=2 #債務残高対GDP比の初期値
r=0.01 #金利
g=0.02 #成長率
pb=0.03 #基礎的財政収支赤字対GDP比

a=(1+r)/(1+g)
b=pb

#差分方程式(金利>成長率or金利<成長率の場合)
def difeq1(t):
    return a**t*(y_0-(b/(1-a)))+b/(1-a)
#差分方程式(金利=成長率の場合)
def difeq2(t):
    return y_0+t*b

x=[]
y=[]

if r==g:#金利=成長率の場合
    for i in range(0,1000):
        x.append(i)
        y.append(difeq2(i)*100)
else:#金利>成長率or金利<成長率の場合
    for i in range(0,1000):
        x.append(i)
        y.append(difeq1(i)*100)
    
#グラフ描画    
plt.plot(x,y) 
plt.ylabel("債務残高対GDP比(%)", fontname="MS Gothic")
plt.xlabel("時間", fontname="MS Gothic")
plt.title("成長率>金利,PB赤字の場合",fontname="MS Gothic")